Алексей Цой 1977 жылы 2 сәуірде Оңтүстік Қазақстан облысында дүниеге келген. Sells College (Лондон), Қазақстан мемлекеттік медицина академиясының аспирантурасын, Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік медицина академиясын, "Дәнекер" халықаралық құқық және халықаралық бизнес институтын, РФ президенті жанындағы Ресей халық шаруашылығы және мемлекеттік қызмет академиясының корпоративтік басқару жоғары мектебін тәмамдаған. Стэнфорд университетінде (АҚШ), Сингапурда, Мәскеуде, Германияда, Ұлыбританияда және т. б. елдерде тағылымдамадан өткен. Іскерлік әкімшілік докторы, медицина ғылымдарының кандидаты.
Хирург-эндоскопист болып жұмыс істеген, Қалпына келтіру хирургиясы және трансплантология орталығының аға ғылыми қызметкері, Ұлттық ғылыми медицина орталығының ішкі медицина орталығының жетекші ғылыми қызметкері, "Еуроазиаттық респираторлық қоғам" қоғамдық бірлестігінің бас хатшысы, ҚР Президенті іс басқармасының заманауи медициналық технологияларды енгізу орталығының директоры, ҚР Президенті іс басқармасының медициналық орталығының басшысы, Астана қаласының №1 қалалық ауруханасының бас дәрігері, ҚР денсаулық сақтау және әлеуметтік даму вице-министрі, ҚР денсаулық сақтау вице-министрі қызметтерін атқарған.
Цой 2019 жылғы ақпаннан бастап 2020 жылдың маусым айына дейін Қазақстан Республикасы президенті іс басқармасының медициналық орталығын басқарды.
2020 жылдың 25 маусымында ҚР денсаулық сақтау министрі қызметіне тағайындалды.
